הכל אודות תהליך פואסון

תהליך פואסון הוא מודל מתמטי המתאר את מספר האירועים המתרחשים במרווח זמן נתון. הוא משמש לתיאור מספר האירועים העצמאיים המתרחשים במרווח נתון. תהליך Poisson יכול לשמש למודל אירועים כגון מספר שיחות הטלפון שהתקבלו על ידי מפעיל, מספר הפריטים שנמכרו ביום, או המרחק הממוצע שהולך לאדם ליום.

הרעיון של תהליך פואסון התגלה על ידי סימאון-דניס פויסון, שפרסם את ממצאיו ב-1837. הרעיון הבסיסי מאחורי תהליך פואסון הוא שיש מספר אינסופי של אירועים עצמאיים המתרחשים בנקודות זמן שונות, כאשר לכל אירוע יש אותה הסתברות להתרחש. במילים אחרות, אם יש 100 אנשים שמחכים בתחנת אוטובוס, לכל אדם יש סיכוי שווה להיבחר לעלות לאוטובוס.

הוא משמש בתחומים שונים כמו ביולוגיה, פיזיקה וסטטיסטיקה. ניתן להשתמש בתהליך Poisson ליצירת מספרים אקראיים עם התפלגות הסתברות מסוימת. זהו כלי חשוב למידול ואומדן מבוסס סימולציה עבור מערכות שונות. ניתן להשתמש בתהליך ה-Poisson גם למודל של מספר האירועים המתרחשים כאשר אנשים ממתינים בתור בחנות או כאשר מכוניות נוסעות על כביש מהיר.

התפלגות מעריכית

התפלגות אקספוננציאלית היא מודל מתמטי המתאר עלייה מהירה ומתמשכת של כמות לאורך זמן. הוא משמש בתחומים רבים, כולל פיננסים, ביולוגיה ומדעי החברה. ההתפלגות האקספוננציאלית שימשה במימון כדי לתאר את הצמיחה של נכסים פיננסיים כגון מניות או אג”ח. זה יכול לשמש גם כדי לתאר את גידול האוכלוסייה או את גודל הכלכלה. המונח “אקספוננציאלי” נטבע על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס ב-1809.

ההתפלגות האקספוננציאלית היא אחת מני רבות של התפלגויות הסתברות מתמשכות עם פונקציית קצב מעריכי (כגון ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית) ואשר ניתן להשתמש בה למודל של תופעות כמו דעיכה רדיואקטיבית, נתוני מכירות או צבירת עושר.

מושג זה הוצג לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט, שהשתמש בו כדי לתאר נתונים פיננסיים וסוגים אחרים של נתונים שלא הופצו בדרך כלל. סוג זה של הפצה נראה לעתים קרובות בתעשיות הטכנולוגיה והעסקים. בענפים אלו ניתן לראות זאת כמגמה שבה שיעורי האימוץ עולים באופן אקספוננציאלי לאורך זמן.

התפלגות נורמלית

התפלגות נורמלית היא פונקציה מתמטית המתארת את פונקציית צפיפות ההסתברות של משתנה מקרי. הוא משמש לתיאור תדירות התרחשותם של ערכים באוכלוסייה. ההתפלגות הנורמלית משמשת לעתים קרובות למודל של תופעות רבות בסטטיסטיקה, כגון הכנסה ממוצעת של אנשים, משקל וגובה. ניתן להגדיר התפלגות נורמלית בצורת פעמון עם שיא אחד ליד הממוצע ושיא נוסף בסטיית התקן כפולה מהממוצע (המוד) ופיזור ערכים בין שתי הפסגות הללו.

כמונח סטטיסטי, ההתפלגות הנורמלית היא התפלגות הסתברות מתמשכת המופיעה בהרבה תופעות טבעיות וחברתיות. משפט הגבול המרכזי קובע שאם מספר רב של משתנים אקראיים בלתי תלויים חולקים את אותו ממוצע וסטיית תקן, אזי הסכום שלהם יבוא לפי התפלגות נורמלית.

התפלגויות נורמליות משמשות לסיכום נתונים על אוכלוסיות בעלות צורות שונות. לדוגמה, הם משמשים כדי לתאר כיצד גובהם של אנשים משתנה סביב הגובה הממוצע שלהם או כיצד ההכנסה משתנה בין רמות שונות של מדרג הכנסה.

ההתפלגות הנורמלית שימושית גם לתיאור העקומה בצורת פעמון של ציוני IQ באדם או באוכלוסייה.

התפלגות רעל הפוכה

התפלגות רעל הפוכה היא פונקציית התפלגות המתארת את ההסתברות להתרחשות של אירוע. הוא נקרא בגלל שיש לו צורה דומה לזו של התפלגות פויסון הסטנדרטית, אך עם הערך הממוצע והשונות הפוכים. התפלגות פואסון הפוכה היא פונקציית התפלגות הסתברות המתארת את ההסתברות להתרחשות של אירועים שבהם מספר ההתרחשויות קטן או שווה לממוצע.

התפלגות פואסון הפוכה משמשת בדרך כלל לתיאור אירועים שבהם מספר ההתרחשויות קטן או שווה לממוצע. לדוגמה, זה יכול לשמש כדי לתאר כמה אנשים יגיעו בזמן נתון.

ניתן להשתמש בהתפלגות פואסון הפוכה גם למידול נתונים בעלי התפלגות בינומית שלילית.